Sala de Estudo: Propriedades da trigonometria do triângulo retângulo

Trigonometria do triângulo retângulo

Discutiremos nesta sala as propriedades iniciais da trigonometria do triângulo retângulo.
Para esta discussão necessitaremos das definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.
Vamos reapresentá-las aqui, para que vocês possam trabalhar sem que precisem ficar mudando de página!

Seja [tex]ACB[/tex] um triângulo retângulo com catetos e hipotenusa com comprimentos [tex]a, \, b, \, h[/tex], respectivamente e um dos ângulos agudos com medida [tex]\theta[/tex], [tex]0^{\circ} \lt\theta\lt 90^{\circ}[/tex].
definindo1
Nessas condições, chamamos de:

● tangente de [tex]\theta[/tex], e denotamos por [tex]tg \, \theta[/tex], a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente a [tex]\theta[/tex]:
[tex]\qquad\qquad tg \, \theta= \dfrac{a}{b}[/tex];

● seno de [tex]\theta[/tex], e denotamos por [tex]sen \, \theta[/tex], a razão entre os comprimentos do cateto oposto a [tex]\theta[/tex] e da hipotenusa:
[tex]\qquad\qquad sen \, \theta= \dfrac{a}{h}[/tex];

● cosseno de [tex]\theta[/tex], e denotamos por [tex]cos \, \theta[/tex], a razão entre os comprimentos do cateto adjacente a [tex]\theta[/tex] e da hipotenusa:
[tex]\qquad\qquad cos \, \theta= \dfrac{b}{h}[/tex].

Nesta sala, além de reapresentar as propriedades iniciais da trigonometria do triângulo retângulo, vamos justificá-las matematicamente e comentá-las.

Isso significa que para cada propriedade vamos fazer uma demonstraçãozinha, não é?

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Isso mesmo! Afirmações matemáticas carecem de justificativas para que sejam consideradas válidas. Particularmente as justificativas que faremos são muito simples de serem entendidas.

Para justificativas mais sofisticadas é necessário uma linguagem mais sofisticada, também.
Se vocês têm dificuldades com o uso de linguagem matemática, cliquem no próximo botão e aprendam um pouco mais…

Bom proveito, pessoal ! ! !

Propriedades iniciais da trigonometria do triângulo retângulo

definindo1
Propriedade 1: Seja [tex]ACB[/tex] um triângulo retângulo com catetos e hipotenusa com comprimentos [tex]a, \, b, \, h[/tex], respectivamente. Seja [tex]\theta[/tex] a medida em graus de um dos ângulos agudos desse triângulo, [tex]0^{\circ} \lt\theta\lt 90^{\circ}[/tex].
Nessas condições, são válidas as seguintes propriedades:

a) [tex]sen^2\theta + cos^2\theta = 1 \qquad\qquad[/tex]b) [tex]\dfrac{sen \, \theta}{cos \, \theta} = tg \, \theta[/tex].

● Não é à toa que essas duas igualdades são denominadas relações fundamentais da trigonometria.
Observem que [tex]sen \, \theta, \, cos \, \theta, \, tg \, \theta[/tex] são valores positivos; assim, se conhecemos um desses valores, essas duas relações nos fornecem os outros dois.

Consideremos o triângulo [tex]ABC[/tex], retângulo em [tex]C[/tex] e com um de seus ângulos agudos medindo [tex]\theta[/tex], conforme mostra a figura acima. Como [tex]ABC[/tex] é um triângulo retângulo, o Teorema de Pitágoras nos garante que [tex]a^2+b^2=h^2[/tex] e, portanto, temos que:
[tex]\quad sen^2\theta + cos^2\theta=\left(\dfrac {a}{h} \right)^2 + \left(\dfrac {b}{h} \right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{h^2}=\dfrac{h^2}{h^2}=1[/tex].
Por outro lado,
[tex]\quad \dfrac{sen \, \theta}{cos \, \theta} = \dfrac{ \, \frac {a}{h} \, }{ \, \frac {b}{h} \, }=\dfrac{a\cdot h}{b\cdot h}=\dfrac{a}{b}=tg \, \theta[/tex].

definindo2
Propriedade 2: Considerem dois ângulos agudos complementares com medidas [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex].
Então:

a) [tex] \, sen \, \alpha = cos \, \beta \, \, \, \, \, \, \, \, \qquad\qquad[/tex]b) [tex] \, tg \, \alpha = \dfrac{1}{tg \, \beta}[/tex].

● Se os ângulos são complementares, então [tex]\alpha + \beta = 90^{\circ}[/tex]; portanto, com essa propriedade, quando obtemos o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo, na verdade, obtemos o seno, o cosseno e a tangente para dois ângulos: o ângulo inicial e o seu complementar. Assim para se obter as razões trigonométricas relativas aos ângulos de medida [tex]\theta[/tex], com [tex]0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ}[/tex], basta trabalharmos como medidas [tex]\theta[/tex] tais que [tex]0^{\circ} \lt \theta \le 45^{\circ}[/tex].

Se [tex]\alpha + \beta = 90^{\circ}[/tex], podemos construir um triângulo retângulo [tex]ABC[/tex] tal que seus ângulos agudos medem [tex]\alpha \, [/tex] e [tex] \, \beta,[/tex] conforme o triângulo mostrado na figura. Dessa forma, temos que:
[tex]\qquad (i) \, sen \, \alpha= \dfrac{a}{h} \, \, \, \, cos \, \alpha= \dfrac{b}{h} \, \, \, \, tg \, \alpha= \dfrac{a}{b}[/tex];

[tex]\qquad (ii) \, sen \, \beta= \dfrac{b}{h} \, \, \, \, cos \, \beta= \dfrac{a}{h} \, \, \, \, tg \, \beta= \dfrac{b}{a}[/tex].

Uma simples comparação das igualdades de [tex] (i) \, [/tex] e [tex] \, (ii)[/tex] nos garante que [tex] \, sen \, \alpha = cos \, \beta \, [/tex] e [tex] \, tg \, \alpha = \dfrac{1}{tg \, \beta}[/tex].

Propriedade 3: Seja [tex]\theta[/tex] tal que [tex]0^{\circ} \lt \theta \lt 45^{\circ}[/tex].
Então:
a)[tex] \, sen \, 2\theta=2sen\theta \cdot cos\theta\qquad\qquad[/tex]b) [tex]sen \, \dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1-cos \, \theta}{2}}[/tex].

● Mais uma propriedade com a qual economizamos cálculos!
A partir das razões relativas a um ângulo de medida [tex]\theta[/tex], com [tex]0^{\circ} \lt \theta \lt 45^{\circ}[/tex], podemos obter as razões trigonométricas dos ângulos com medidas [tex] \, \, 2 \theta \, \, [/tex] e [tex] \, \, \dfrac{\theta}{2} \, .[/tex]

prop3● Com a informação de que [tex]\overline{VA} \, [/tex] e [tex]\overline{VC} \, [/tex] são segmentos de comprimento [tex]1[/tex], a figura por si só justifica a primeira igualdade. Mas, aí vai uma dica:
observe que a área do triângulo [tex]ACV[/tex] pode ser escrita como [tex]\dfrac{AC \cdot VB}{2} \, [/tex] e também como [tex]\dfrac{VC \cdot AD}{2}[/tex].

● Para demonstrar a segunda igualdade, observem que [tex]VD + DC=1[/tex]. Então escrevam [tex]VD [/tex] em função do ângulo [tex]2\theta[/tex] e, utilizando o triângulo [tex]ADC[/tex] escrevam [tex] DC[/tex] em função de [tex]sen \, \theta[/tex].

Propriedade 4:

a) [tex] \, \, sen \, 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}\qquad\qquad[/tex] [tex] \, \, \, \, cos \, 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad\qquad[/tex] [tex] tg \, 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}[/tex] .

b) [tex] \, \, sen \, 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad\qquad[/tex] [tex] cos \, 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad\qquad[/tex] [tex] tg \, 45^{\circ}=1[/tex] .

c) [tex] \, \, sen \, 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad\qquad[/tex] [tex] cos \, 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\qquad\qquad[/tex] [tex] \, \, \, \, tg \, 60^{\circ}=\sqrt{3}[/tex] .

● Diferentemente dos valores da tabela disponibilizada na sala principal, ou mesmo dos valores encontrados por vocês na Atividade 1, esta propriedade fornece os valores exatos para os senos, cossenos e tangentes dos ângulos de [tex]30^{\circ}, \, 45^{\circ} \, [/tex] e [tex] \, 60^{\circ}[/tex].

Pelas propriedades anteriores, basta calcularmos uma razão trigonométrica para um ângulo de [tex] \, 30^{\circ}[/tex] ou [tex] \, 60^{\circ}[/tex] e uma para um ângulo de [tex] \, 45^{\circ}[/tex].
Sugestões:
● Para a razão do ângulo de [tex] \, 30^{\circ}[/tex] ou de [tex] \, 60^{\circ}[/tex], basta considerar um triângulo equilátero com lados unitários e traçar uma de suas alturas.
● Para a razão do ângulo de [tex] \, 45^{\circ}[/tex], considere um triângulo retângulo com catetos unitários.
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Bons estudos!

Equipe COM – OBMEP

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